Генерация экспериментальной информации

Вырожденные решения

Положив малый параметр $\varepsilon = 0$ равным нулю, на каждом временном шаге определим задачи Коши для левого вырожденного решения $\varphi_l(x)$ и правого $\varphi_r(x)$ следующим образом

\[\left\{ \begin{array}{c} & \frac{d \phi_l^m}{dx} = q(x), & \quad x \in (0, 1], \\ & \phi_l^m = u_l^m & \end{array} \right. \qquad \left\{ \begin{array}{c} & \frac{d \phi_r^m}{dx} = q(x), \quad x \in [0, 1), \\ & \phi_r^m = u_r^m \end{array} \right.\]

Эти обыкновенные дифференциальные уравнения решим интегрированием:

\[\left\{ \begin{aligned} \varphi_0 = \varphi_b \\ \varphi_{n+1}^m = \varphi_{n}^m + (q_{n+1} - q_{n})(x_{n+1} - x_{n}) / 2 \end{aligned} \right.\]

Где $\varphi_b$ – это соответствующее граничное условие, а $x_n$ узлы сетки по пространству, поданной в соответствующем направлении.

Tip

Записать формулы интегрирования ОДУ нормально.

Решением семейства этих задач Коши будут $(\varphi_l)_n^m, (\varphi_r)_n^m$. Определим полуразность вырожденных решений $\varPhi_n^m = |(\varphi_r)_n^m - (\varphi_l)_n^m|/2 + (\varphi_l)_n^m$

Положение переходного слоя $f_1(t)$ определяется как аргумент $x_{tp}$ при котором функция $u(x,t)$ пересекается с полуразностью вырожденных решений $\varPhi$. Имея сеточные значения $u_n^m, \varPhi_k^m$, где функции определены на разных сетках, сначала нужно привести их к значениям на одной сетке. После чего, построить сеточную функцию $v_k = u_k^m - \varPhi_k^m$, после чего найти ноль функции $v_k$. Ноль функции находится с помощью интерполяции обратной функции $v_k^{-1}(0)$.

Или в другой постановке:

\[f_1(t) \equiv x_{tp}(t) = \argmin_x |u(x,t) - \varPhi(x,t)|\]

Зная положение переходного слоя, интерполяцией найдём значение искомой функции на переходном слое $f_2(t) = u(x_{tp}(t), t)$.

Программная реализация

Задачи коши решаются phidetermination. Для правого вырожденного решения необходимо подать ключевое слово reverseX = true, чтобы сигнализировать о обратном направлении интегрирования по $x$. Решение находится интегрированием по квадратурным формулам парабол.
Полуразность находится тривиальной функцией Φ.
Положение переходного слоя определяется функцией f1, которая в каждый момент времени вызывает функцию NonLinearReactionAdvectionDiffusionWithFrontData.find_f_zeros, которая реализует вышеописанный алгоритм поиска нуля функции.
Значения функции на переходном слое определяется f2, которая так же вызывает NonLinearReactionAdvectionDiffusionWithFrontData.find_f_zeros в каждый момент времени, только с другими аргументами.

Tip

Математически формализоваться эту задачу через поиск нуля "новой" функции.

Всё это вместе, одной строчкой, делается с помощью generate_obs_data.