Выбор начального приближения
Вернемся к левому и правому вырожденному решению
\[\left\{
\begin{array}{c}
\frac{d \phi_l^m}{dx} & = q(x), & \quad x \in (0, 1], \\
\phi_l^m & = u_l^m &
\end{array}
\right.
\qquad
\left\{
\begin{array}{c}
& \frac{d \phi_r^m}{dx} = q(x), \quad x \in [0, 1), \\
& \phi_r^m = u_r^m
\end{array}
\right.\]
Для начала, ограничимся случаем постоянных граничных условий. Решения запишем с помощью формул левых и правых прямоугольников.
\[\begin{aligned}
(\varphi_l)_n & = u_l + \sum\limits_{i=1}^n q_i h \\
(\varphi_r)_n & = u_r + \sum\limits_{i=N-1}^n q_i h
\end{aligned}\]
Вычисление скорости движения переходного фронта
Нам известна априорная информация о положении переходного слоя $f_1(t)$, значит мы можем найти скорость движения переходного слоя $\frac{d f_1}{dt}$, обозначим её $v(t)$, она, ровно как и $f_1(t)$ будет определена своими сеточными значениями на сетке $T_M$, для сеточных значений скорости движения переходного слоя $v_m$ получим следующее выражение
\[v_m =
\begin{cases}
\frac{-3(f_1)_0 + 2(f_1)_1 - 1}{2 \tau}, \\
\frac{(f_1)_{m+1} - (f_1)_{m-1}}{2 \tau}, \quad m = \overline{1, M-1}, \\
\frac{(f_1)_{M-2} - 2(f_1)_{M-1} + 3(f_1)_M}{2 \tau}
\end{cases}\]
Теперь, нашей целью будет найти скорость движения переходного слоя в каждой точке пространственной сетки $X_N$. Для этого, сначала, построим параметрическую функцию для $t \in [0, T]$
\[v(x) =
\begin{cases}
x = f_1(t), \\
v = \frac{d f_1}{dt}(t).
\end{cases}\]