Edit on GitHub

Сопряженная задача

Постановка сопряженной задачи

Сопряженная задача формулируется следующим образом:

\[\left\{ \begin{aligned} &\varepsilon\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial \psi}{\partial t} = u \frac{\partial \psi}{\partial x} + q(x)\,\psi -\\ & \qquad - 2\delta(x - f_1(t))(u(x,t) - f_2(t)), \quad x \in (0,1), \quad t \in (0,T], \\ &\psi(0,t) = 0, \quad \psi(1,t) = 0, \quad t \in (0,T], \\ &\psi(x,T) = 0, \qquad x \in [0,1]. \end{aligned} \right.\]

Причем, важной особенностью численной реализации решения сопряженной задачи, является динамическая, неравномерная по $x$ сетка, уникальная для каждого шага по времени. Эту сетку возвращается нам функция solve решения прямой задачи.

Сопряженная задача является ретроспективной. Она должна использоваться переданную ей сетку $X_N^M$ в обратном по времени направлении. Найдя решение на следующем временном слое $\psi^{m-1}$ мы должны аппроксимировать его на соответствующую новому временному слою сетку $X_N^{m-1}$.

Введем следующие обозначения

ОписаниеОбозначение
вектор столбец искомой функции размерностью $N-1$:$\mathbf{y} = (\psi_1, \psi_2, \dots, \psi_{N-1})^T$.
вектор столбец начальных значений размерностью $N-1$:$\mathbf{y_0} = (0, 0, \dots, 0)^T$.
вектор столбец правой части размерность $N-1$:$\mathbf{f}(\mathbf{y}, t)$

Приведём только формулы для неравномерной сетки.

Сопряженная задача легко приводится к виду

\[ \left\{ \begin{aligned} &\frac{d \mathbf{y}}{d t} = \mathbf{f} \, (\mathbf{y},t), \quad t \in [t_0,T),\\ &\mathbf{y}(T) = \mathbf{y}_{init}, \end{aligned} \right.\]

Хоть граничные условия у нас и нулевые $\psi_r(t) = \psi_l(t) = 0$, в формулах выпишем их явно. Причем $f^m$ вычисляется с использованием $X_N^m$.

\[\mathbf{f} = \left\{ \begin{aligned} &f_1 = \frac{-2 \varepsilon}{x_2 - x_0} \left( \frac{y_{2} - y_1}{x_2 - x_1} - \frac{y_{1} + \psi_l^m}{x_1 - x_0} \right) + y_1 \frac{y_{2} - \psi_l^m}{x_2 - x_0} + q_{1} y_1 - 2 \delta( x_1 - f_1^m)) ( u_n^m - f_2^m), \\ &f_n = \frac{-2 \varepsilon}{x_{n+1} - x_{n-1}} \left( \frac{y_{n+1} - y_{n}}{x_{n+1} - x_{n}} - \frac{y_{n} + y_{n-1}}{x_{n} - x_{n-1}} \right) + y_n \frac{y_{n + 1} - y_{n - 1}}{x_{n+1} - x_{n-1}} + q_{n} u_n - 2 \delta( x_n - f_1^m)) ( u_n^m - f_2^m), \quad n=\overline{2, N-2}, \\ &f_{N - 1} = \frac{-2 \varepsilon}{x_{N} - x_{N-1}} \left( \frac{\psi_r^m - y_{N - 1}}{x_{N} - x_{N-1}} - \frac{y_{N-1} + y_{N - 2}}{x_{N-1} - x_{N-2}} \right) + y_{N - 1} \frac{\psi_r^m - y_{N - 2}}{x_{N} - x_{N-2}} + q_{N-1} y_{N-1} - 2 \delta( x_{N-1} - f_1^m)) ( u_n^m - f_2^m). \end{aligned} \right.\]

Ненулевые элементы Якобиана $\mathbf{F}_{\mathbf{y}}$

\[\begin{aligned} (f_y)_{1, 1} & = \frac{-2 \varepsilon}{x_2 - x_0} \left( \frac{-1}{x_{2} - x_{1}} - \frac{1}{x_{1} - x_{0}} \right) + q_1, \\ (f_y)_{n, n - 1} & = \frac{-2 \varepsilon}{x_{n+1} - x_{n-1}} \left( \frac{1}{x_{n} - x_{n-1}} \right) - \frac{u_{n}^m}{x_{n+1} - x_{n-1}}, \quad n=\overline{2, N-1},\\ (f_y)_{n, n} & = \frac{-2 \varepsilon}{x_{n+1} - x_{n-1}} \left( \frac{-1}{x_{n+1} - x_{n}} - \frac{1}{x_{n} - x_{n-1}} \right) + q_n, \quad n=\overline{2, N-2},\\ (f_y)_{n, n + 1} & = \frac{-2 \varepsilon}{x_{n+1} - x_{n-1}} \left( \frac{1}{x_{n+1} - x_{n}} \right) + \frac{u_{n}^m}{x_{n+1} - x_{n-1}}, \quad n=\overline{1, N-2},\\ (f_y)_{N - 1,N - 1} & = \frac{-2 \varepsilon}{x_{N} - x_{N-2}} \left( \frac{-1}{x_{N} - x_{N-1}} - \frac{1}{x_{N-1} - x_{N-2}} \right) + q_{N-1}. \end{aligned}\]
Note

Правая часть в уравнении для $\mathbf{w}$ в явном виде не зависит от $t$, а все сеточные функции u, f_1, f_2 берутся в момент времени $t_m$, вместо $\frac{ t_{m+1} + t_m}{2}$.

Найдем решение сопряженной задачи следующим образом:

\[ \begin{aligned} & \mathbf{y}(t_{m - 1}) = \mathbf{y}(t_m) + (t_{m} - t_{m-1}) \, \mathrm{Re} \, \mathbf{w} \,\\ & \left[\mathbf{E} - \frac{1 + i}{2} \, (t_{m} - t_{m-1}) \, \mathbf{F}_\mathbf{y}\Big(\mathbf{y}(t_m),t_m\Big)\right] \, \mathbf{w} = \\ & \qquad\qquad\qquad\qquad\quad = \mathbf{f} \, \Big(\mathbf{y}(t_m), t_{m}\Big). \end{aligned}\]

Программная реализация